Vad är Bootstrapping Yield Curve?
Bootstrapping är en metod för att konstruera en avkastningskurva med nollkupong. Följande bootstrapping-exempel ger en översikt över hur en avkastningskurva är konstruerad. Även om inte alla variationer kan förklaras eftersom det finns många metoder för bootstrapping på grund av skillnader i konventioner som används.
Topp 3 exempel på Bootstrapping Yield Curve i Excel
Följande är exempel på bootstrapping avkastningskurva i Excel.
Exempel 1
Tänk på olika obligationer med ett nominellt värde på $ 100, med avkastning till förfall lika med kupongräntan. Kuponguppgifterna är som nedan:
| Mognad | 0,5 år | 1 år | 1,5 år | 2 år |
| Avkastning fram till förfallodagen | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Lösning:
Nu, för en nollkupong med en löptid på 6 månader, kommer den att få en enda kupong motsvarande obligationsräntan. Därför blir spoträntan för 6-månaders nollkupongobligationen 3%.
För en 1-årig obligation kommer det att finnas två kassaflöden, 6 månader och 1 år.
Kassaflödet vid 6 månader kommer att vara (3,5% / 2 * 100 = 1,75 $) och kassaflödet vid 1 år kommer att vara (100 + 1,75 = 101,75 $) dvs huvudbetalning plus kupongbetalningen.
Från 0,5-års löptid är spoträntan eller diskonteringsräntan 3% och låt oss anta att diskonteringsräntan för 1-års löptid är x%, sedan
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1.0353
- 1 + x% / 2 = (1.0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1.0175
- x% = (1.0175-1) * 2
- x% = 3,504%
Att lösa ovanstående ekvation får vi x = 3,504%
Nu, igen för en 2-årig obligationslöptid,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2.955665025 + 2.897579405 + 2.805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8.658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91.3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91.3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1,127635858
- (1 + x / 2) = 1.127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1.030486293
- x = 1,030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Lösning för x får vi, x = 6,097%
På samma sätt för en 1,5-årig obligationslöptid
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Att lösa ovanstående ekvation får vi x = 4,526%
Således kommer bootstrapped nollavkastningskurvorna att vara:
| Mognad | Nollpriser |
| 0,5 år | 3% |
| 1 år | 3,50% |
| 1,5 år | 4,53% |
| 2 år | 6,10% |
Exempel 2
Låt oss överväga en uppsättning nollkupongobligationer till nominellt värde $ 100, med löptid 6 månader, 9 månader och 1 år. Obligationerna är nollkuponger, dvs. de betalar inte någon kupong under tiden. Priserna på obligationerna är enligt nedan:
| Mognad | Pris ($) | |
| Månader | 6 | 99 |
| Månader | 9 | 98,5 |
| År | 1 | 97,35 |
Lösning:
Med tanke på en linjär räntekonvention,
FV = Pris * (1+ r * t)Där r är nollkupongräntan är t tiden
För 6-månadersperiod:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
För 9-månaders tjänstgöring:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
För 1 års tjänstgöring:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12)
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Följaktligen kommer de avgränsade avkastningsgraden för nollkupong att vara:
| Mognad | Nollkupong (priser) |
| 6 månader | 2,02% |
| 9 månader | 2,03% |
| 1 år | 2,72% |
Observera att skillnaden mellan det första och det andra exemplet är att vi har betraktat nollkupongräntorna som linjära i exempel 2 medan de sammansätts i exempel 1.
Exempel # 3
Även om detta inte är ett direkt exempel på en bootstrapping-avkastningskurva, måste man ibland hitta frekvensen mellan två löptider. Tänk på nollkurvan för följande löptider.
| Mognad | Nollkupong (priser) |
| 6 | 2,50% |
| 1 år | 3,50% |
| 3 år | 5% |
| 4 år | 5,50% |
Om man nu behöver nollkupongräntan för två års löptid, måste han linjärt interpolera nollräntorna mellan 1 år och 3 år.
Lösning:
Beräkning av diskonteringsränta för nollkupong under två år
Nollkupongränta för 2 år = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2- 1) / (3 - 1) = 3,5% + 0,75%
Nollkupongsats för 2 år = 4,25%
Följaktligen kommer diskonteringsräntan på nollkupong som ska användas för den 2-åriga obligationen 4,25%
Slutsats
Bootstrap-exemplen ger en inblick i hur nollräntor beräknas för prissättningen av obligationer och andra finansiella produkter. Man måste korrekt titta på marknadskonventionerna för korrekt beräkning av nollräntorna.
