Eulers totientfunktion - mening, exempel, hur man beräknar?

Innehållsförteckning

Vad är Eulers totientfunktion?

Eulers Totient-funktion är de matematiska multiplikationsfunktionerna som räknar de positiva heltalen upp till det angivna heltalet som vanligtvis kallas 'n' som är ett primtal till 'n' och funktionen används för att känna till antalet primtal som finns upp till givet heltal 'n'.

Förklaring

Att veta hur många primtal som kommer upp till det angivna heltalet 'n' Eulers Totient Function används. Det kallas också en aritmetisk funktion. För en applikation eller användning av Eulers Totient-funktion är två saker viktiga. Det ena är att gcd bildad av givna heltal 'n' ska multiplicera med varandra, och den andra är att antalet gcd endast ska vara primtal. Heltalet 'n' bör i detta fall vara mer än 1. Från ett negativt heltal är det inte möjligt att beräkna Eulers totientfunktion. Principen är i detta fall att för ϕ (n) ska multiplikatorerna som kallas m och n vara större än 1. Därav betecknas med 1

Historia

Euler introducerade denna funktion 1763. Ursprungligen använde Euler det grekiska π för beteckning av funktionen, men på grund av vissa problem fick hans beteckning av grekiska π inte erkännandet. Och han misslyckades med att ge det rätt notationstecken, dvs ϕ. Funktionen kan därför inte införas. Vidare togs ϕ från Gauss 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Funktionen kallas också phi-funktion. Men JJ Sylvester inkluderade 1879 termen totient för denna funktion på grund av egenskaper och användningen av funktionerna. De olika reglerna är inramade för att hantera olika typer av heltal ges som om heltal p är ett primtal, då vilken regel som ska tillämpas etc. alla regler är inramade av Euler är praktiska och kan användas även idag när man hanterar samma.

Egenskaper för Eulers totientfunktion

Det finns några av de olika egenskaperna. Några av egenskaperna hos Eulers totientfunktion är som under:

  • Φ är den symbol som används för att beteckna funktionen.
  • Funktionen handlar om primtalens teori.
  • Funktionen är endast tillämplig vid positiva heltal.
  • För ϕ (n) finns två multiplikativa primtal för att beräkna funktionen.
  • Funktionen är en matematisk funktion och användbar på många sätt.
  • Om heltal 'n' är ett primtal, då är gcd (m, n) = 1.
  • Funktionen fungerar med formeln 1 <m <n där m och n är primtal och multiplikationsnummer.
  • I allmänhet är ekvationen
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funktionen räknar i princip antalet positiva heltal mindre än det givna heltalet, vilket är relativt primtal till det givna heltalet.
  • Om det givna heltalet är prim är ϕ (p) = p - 1
  • Om effekten av p är primär, då, om a = p n är en primär effekt, är ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) är inte en - en
  • ϕ (n) är inte på.
  • ϕ (n), n> 3 är alltid jämnt.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Beräkna Eulers Totient-funktion

Exempel 1

Beräkna ϕ (7)?

Lösning:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Eftersom alla siffror är primära till 7, blev det därför enkelt att beräkna ϕ.

Exempel 2

Beräkna ϕ (100)?

Lösning:

Eftersom 100 är stort tal är det därför tidskrävande att beräkna från 1 till 100 de primtal som är primtal med 100. Därför tillämpar vi formeln nedan:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Exempel # 3

Beräkna ϕ (240)?

Multiplar av 240 är 16 * 5 * 3, dvs. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

om n M inte är primtal använder vi n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Exempel 4

Beräkna ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Applikationer

De olika applikationerna är som under:

  • Funktionen används för att definiera RSA-krypteringssystem som används för kryptering av internetsäkerhet.
  • Används i primtaltalsteorin.
  • Används också i stora beräkningar.
  • Används i tillämpningar av elementär talteori.

Slutsats

Eulers totientfunktion är användbar på många sätt. Den används i RSA-krypteringssystemet, som används för säkerhetsändamål. Funktionen handlar om primtaltalsteorin, och den är användbar vid beräkning av stora beräkningar också. Funktionen används också i algebraiska beräkningar och elementära siffror. Symbolen som används för att beteckna funktionen är ϕ, och den kallas också en phi-funktion. Funktionen består av mer teoretisk användning snarare än praktisk användning. Den praktiska användningen av funktionen är begränsad. Funktionen kan bättre förstås genom de olika praktiska exemplen snarare än bara teoretiska förklaringar. Det finns olika regler för beräkning av Eulers totientfunktion, och för olika nummer ska olika regler tillämpas. Funktionen introducerades först 1763, men på grund av vissa problem,det fick erkännande 1784 och namnet ändrades 1879. Funktionen är en universell funktion och kan tillämpas överallt.

Intressanta artiklar...