Vad är log-normal distribution?
En log-normalfördelning är en kontinuerlig fördelning av slumpmässiga variabler vars logaritmer distribueras normalt. Med andra ord genereras den lognormala fördelningen av funktionen av e x , där x (slumpmässig variabel) är tänkt att vara normalfördelad. I den naturliga logaritmen för e x är x, distribueras logaritmerna för lognormalt fördelade slumpmässiga variabler.
En variabel X distribueras normalt om Y = ln (X), där ln är den naturliga logaritmen.
- Y = e x
- Låt oss anta en naturlig logaritm på båda sidor.
- lnY = ln e x vilket resulterar i lnY = x
Därför kan vi säga, om X som en slumpmässig variabel har en normalfördelning, så har Y en lognormal fördelning.
Log-Normal Distribution Formula
Formeln för sannolikhetsdensitetsfunktionen för den lognormala fördelningen definieras av medelvärdet μ och standardavvikelsen σ, vilket betecknas med:
Parametrar för logg-normal distribution
Log-normalfördelningen kännetecknas av följande tre parametrar:
- σ , standardavvikelsen för distributionsloggen, som också kallas formparametern. Formparametern påverkar vanligtvis den övergripande formen för den lognormala fördelningen, men den påverkar inte platsen och höjden på diagrammet.
- m , medianen för fördelningen, även känd som skalparametern.
- Θ , platsparametern som används för att lokalisera grafen på x-axeln.
Medelvärdet och standardavvikelsen är två huvudparametrar för den lognormala fördelningen, och det definieras uttryckligen av dessa två parametrar.
Följande bild illustrerar normalfördelningen och lognormalfördelningen.
Från ovanstående figur kan vi notera följande funktioner i log-normalfördelningen.
- Log-normalfördelningarna är positivt snedställda åt höger på grund av lägre medelvärden och högre variation i slumpmässiga variabler i överväganden.
- Den lognormala fördelningen begränsas alltid underifrån av 0 eftersom det hjälper till att modellera tillgångspriserna, som inte förväntas bära negativa värden.
- Den lognormala fördelningen är snedställt positivt med ett stort antal små värden och innehåller några huvudvärden, vilket resulterar i att medelvärdet ofta är större än läget.
Från ovanstående figur kan vi observera att log-normalfördelning begränsas av 0, och den är positivt sned åt höger, vilket kan märkas av dess långa svans mot höger. Dessa två observationer anses vara de viktigaste egenskaperna hos lognormala fördelningar. I praktiken visade sig lognormala fördelningar vara mycket användbara vid fördelningen av aktie- eller tillgångspriser, medan normal distribution är mycket användbar för att uppskatta tillgångens förväntade avkastning över en tidsperiod.
Exempel på logg-normal distribution
Följande är några exempel där log-normal distributioner kan användas:
- Volymen gas i energi och petroleumsreserv.
- Volymen av mjölkproduktion.
- Mängden nederbörd.
- De potentiella livslängderna för tillverkande och industriella enheter vars chanser att överleva präglas av stresshastigheten.
- Graden av perioder i vilka det finns en infektionssjukdom.
Tillämpning och användning av log-normal distribution
Följande är applikationer och användningar av log-normal distribution.
- Den vanligaste och mest populära distributionen är en normalfördelning, som är normalfördelad och symmetrisk och bildar en klockformad kurva som har modellerat olika naturliga från enkla till mycket komplexa.
- Men det finns fall där normal distribution möter begränsningar där lognormal distribution lätt kan tillämpas. Normalfördelningen kan betrakta en negativ slumpmässig variabel, s men lognormal fördelning förutser endast positiva slumpmässiga variabler.
- En av de olika applikationerna där lognormal distribution används i ekonomi där den tillämpas i analysen av tillgångspriser. Den förväntade avkastningen på tillgångarna visas i en normalfördelning, men tillgångarnas priser visas i en lognormal fördelning.
- Med hjälp av den lognormala fördelningskurvan kan vi enkelt beräkna den sammansatta avkastningen på tillgångar under en tidsperiod.
- Om vi använde en normalfördelning för att beräkna tillgångspriser över en tidsperiod finns det möjligheter att få avkastning mindre än -100%, vilket därefter antar priserna på tillgångar mindre än 0. Men om vi använder lognormal distribution för att uppskatta sammansättningen avkastning över en tidsperiod kan vi enkelt avvärja situationen med att få negativ avkastning eftersom lognormal fördelning endast beaktar positiva slumpmässiga variabler.
- En prisrelation är tillgångens pris vid periodens slut dividerat med tillgångens ursprungliga pris, vilket är lika med 1 plus innehavsperiodens avkastning. För att hitta slutet på tillgången på periodpriset kan vi få samma genom att multiplicera den med relativ pris gånger det ursprungliga tillgångspriset. Lognormal fördelning tar bara positivt värde; Därför kan tillgångens pris vid periodens slut inte understiga 0.
Log-normal fördelning i modellering av aktiekurser
Logg-normalfördelningen har använts för modellering av sannolikhetsfördelningen för lager och många andra tillgångspriser. Vi har till exempel observerat att lognormalt uppträder i Black-Scholes-Merton-prissättningsmodellen, där det finns ett antagande att priset på en underliggande tillgångstillgång distribueras lognormalt samtidigt.
Slutsats
- Normalfördelningen är sannolikhetsfördelningen, som sägs vara den asymmetriska och klockformade kurvan. I en normalfördelning faller 69% av utfallet inom en standardavvikelse och 95% faller inom de två standardavvikelserna.
- På grund av populariteten hos normal distribution är de flesta bekanta med begreppet och tillämpningen av normal distribution, men för tillfället verkar de inte lika bekanta med begreppet lognormal distribution. Normalfördelningen kan omvandlas till lognormal distribution med hjälp av logaritmer, vilket blir den grundläggande grunden eftersom de lognormala fördelningarna betraktar den enda slumpmässiga variabeln som normalt distribueras.
- Lognormala fördelningar kan användas tillsammans med normalfördelningen. Lognormala fördelningar är resultatet av antagandet av den ln, naturliga logaritmen där basen är lika med e = 2.718. Förutom den givna basen kunde den lognormala fördelningen göras med en annan bas, som därefter skulle påverka formen på den lognormala fördelningen.
- Den lognormala fördelningen grafer loggen för normalfördelade slumpmässiga variabler från normalfördelningskurvorna. Ln, den naturliga loggen är känd e, exponent till vilken en bas ska höjas för att få den önskade slumpmässiga variabeln x, som kan hittas på normalfördelningskurvan.
