Formel för att beräkna binomial fördelning
Binomialfördelningsformel används för att beräkna sannolikheten för att få x framgångar i n-försöken av binomiala experiment som är oberoende och sannolikheten härleds genom en kombination mellan antalet försök och antalet framgångar som representeras av nCx multipliceras med sannolikheten för den framgång som höjs till kraften av antalet framgångar representerade av px vilket ytterligare multipliceras med sannolikheten för det fel som höjs till skillnaden mellan antalet framgångar och antalet försök som representeras av (1-p) nx.
Sannolikheten för att uppnå x-framgångar i n oberoende försök av ett binomialt experiment ges av följande formel för binomialfördelning:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
där p är sannolikheten för framgång
I ovanstående ekvation, n C x används, vilket är ingenting annat än en kombination formel. Formeln för att beräkna kombinationer ges som n C x = n! / x! (nx)! där n representerar antalet objekt (oberoende försök) och x representerar antalet objekt som väljs åt gången (framgångar).
Om n = 1 i en binomial fördelning är distributionen känd som Bernoulli-distribution. Medelvärdet för en binomial fördelning är np. Variansen i binomialfördelningen är np (1-p).
Beräkning av binomialfördelningen (steg för steg)
Beräkningen av binomialfördelning kan härledas med följande fyra enkla steg:
- Steg 1: Beräkna kombinationen mellan antalet försök och antalet framgångar. Formeln för n C x är där n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. För ett nummer n kan faktorn för n skrivas som n! = n * (n-1)! Till exempel 5! är 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Steg 2: Beräkna sannolikheten för framgång som höjs till antalet framgångar som är p x .
- Steg 3: Beräkna sannolikheten för att misslyckanden höjs till skillnaden mellan antalet framgångar och antalet försök. Sannolikheten för fel är 1-p. Således avser detta att erhålla (1-p) nx
- Steg 4: Ta reda på produkten av resultaten som erhållits i steg 1, steg 2 och steg 3.
Exempel
Exempel 1
Antalet försök (n) är 10. Sannolikheten för framgång (p) är 0,5. Gör beräkningen av binomialfördelning för att beräkna sannolikheten för att få exakt sex framgångar.
Lösning:
Använd följande data för beräkning av binomial fördelning.
Beräkning av binomialfördelning kan göras enligt följande,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Sannolikheten för att få exakt 6 framgångar blir-
P (x = 6) = 0,2051
Sannolikheten för att få exakt 6 framgångar är 0,2051
Exempel 2
En chef för ett försäkringsbolag går igenom uppgifterna om försäkringar som säljs av försäkringsförsäljare som arbetar under honom. Han finner att 80% av de som köper bilförsäkring är män. Han vill ta reda på att om åtta bilförsäkringsägare väljs slumpmässigt, vad är sannolikheten för att exakt 5 av dem är män.
Lösning: Vi måste först ta reda på vad som är n, p och x.
Beräkning av binomialfördelning kan göras enligt följande,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0.32768 * (0.2) 3
= 56 * 0,33268 * 0,008
Sannolikheten för exakt 5 framgångar blir-
P (x = 5) = 0,14680064
Sannolikheten för att exakt 5 bilförsäkringsägare är män är 0,14680064.
Exempel # 3
Sjukhusledningen är glada över införandet av ett nytt läkemedel för behandling av cancerpatienter, eftersom chansen att en person framgångsrikt behandlas av den är mycket hög. Sannolikheten för att en patient framgångsrikt behandlas av läkemedlet är 0,8. Läkemedlet ges till 10 patienter. Hitta sannolikheten för att 9 eller fler patienter behandlas framgångsrikt av den.
Lösning: Vi måste först ta reda på vad som är n, p och x.
Vi måste hitta sannolikheten för att 9 eller fler patienter behandlas framgångsrikt av den. Således behandlas antingen 9 eller 10 patienter framgångsrikt av den
x (ett tal som du måste hitta en sannolikhet för) = 9 eller x = 10
Vi måste hitta P (9) och P (10)
Beräkning av binomialfördelning för att hitta P (x = 9) kan göras enligt följande,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Sannolikheten för 9 patienter kommer att-
P (x = 9) = 0,2684
Beräkning av binomialfördelning för att hitta P (x = 10) kan göras enligt följande,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Sannolikheten för 10 patienter kommer att vara-
P (x = 10) = 0,1074
Därför är P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Sannolikheten för att 9 eller fler patienter behandlas med läkemedlet är således 0,375809638.
Binomial Distribution Calculator
Du kan använda följande binomialfördelningsräknare.
| n | |
| sid | |
| x | |
| Binomial fördelningsformel = | |
| Binomial fördelningsformel = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Relevans och användning
- Det finns bara två resultat
- Sannolikheten för varje utfall förblir konstant från rättegång till rättegång
- Det finns ett fast antal försök
- Varje rättegång är oberoende, dvs. ömsesidigt uteslutande av andra
- Det ger oss frekvensfördelningen av det möjliga antalet framgångsrika resultat i ett givet antal försök där var och en av dessa givna försök har samma sannolikhet för framgång.
- Varje försök i ett binomialt experiment kan resultera i bara två möjliga resultat. Därför är namnet "binomial". Ett av dessa resultat är känt som framgång och det andra som ett misslyckande. Till exempel kan personer som är sjuka svara på en behandling eller inte.
- På samma sätt, när vi slänger ett mynt kan vi bara ha två typer av resultat: huvuden eller svansar. Binomialfördelningen är en diskret distribution som används i statistik, som skiljer sig från en kontinuerlig distribution.
Ett exempel på ett binomialt experiment är att kasta ett mynt, säg tre gånger. När vi vänder ett mynt är det bara två resultat som är möjliga - huvuden och svansarna. Sannolikheten för varje utfall är 0,5. Eftersom myntet kastas tre gånger är antalet försök fast, det vill säga 3. Sannolikheten för varje kast påverkas inte av andra kast.
Binomial distribution hittar sina tillämpningar i samhällsvetenskaplig statistik. Den används för att utveckla modeller för dikotoma resultatvariabler där det finns två resultat. Ett exempel på detta är om republikaner eller demokrater skulle vinna valet.
Binomial Distribution Formula i Excel (med excel-mall)
Saurabh lärde sig om binomialfördelningsekvationen i skolan. Han vill diskutera konceptet med sin syster och satsa på henne. Han trodde att han skulle slänga ett opartiskt mynt tio gånger. Han vill satsa 100 dollar på att få exakt fem svansar på 10 kast. För denna satsning vill han beräkna sannolikheten för att få exakt fem svansar i 10 kast.
Lösning: Vi måste först ta reda på vad som är n, p och x.
Det finns en inbyggd formel för binomial distribution är Excel, vilket är
Det är BINOM.DIST (antal framgångar, prövningar, sannolikhet för framgång, FALSE).
För detta exempel på binomial distribution skulle vara:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) där cell B2 representerar antalet framgångar, cell B3 representerar antalet försök och cell B4 representerar sannolikheten för framgång.
Därför kommer beräkningen av Binomial Distribution att
P (x = 5) = 0,24609375
Sannolikheten för att få exakt 5 svansar i 10 kast är 0,24609375
Anmärkning: FALSK i ovanstående formel anger sannolikhetsfunktionen. Den beräknar sannolikheten för att det exakt blir n framgångar från n oberoende försök. TRUE betecknar den kumulativa fördelningsfunktionen. Den beräknar sannolikheten för att det är högst x framgångar från n oberoende försök.
